题目

设n个实数x1,x2,...,xn的算术平均数是x,a是不等于x的任意实数,并记p=(x1-x)^2+(x2-x)^2+(xn-x)^2,q=(x1-a)^2+(x2-a)^2+...+(xn-a)^2则一定有A.p=q
b.pq d.p>=q (要有过程)

提问时间：2021-01-20

答案

答案为b
假设a=x+b(b不为0)
p=(x1-x)^2+(x2-x)^2+(xn-x)^2
=x1^2+x2^2+...+xn^2+x^2*n-2*(x1+x2+...+xn)*x
由于x1,x2,...,xn的算术平均数是x,
那么p=(x1^2+x2^2+...+xn^2)-x^2*n.
q=(x1-a)^2+(x2-a)^2+...+(xn-a)^2
=x1^2+x2^2+...+xn^2+a^2*n-2*(x1+x2+...+xn)*a
代入a=x+b
那么q=(x1^2+x2^2+...+xn^2)-x^2*n+b^2*n
p-q=[(x1^2+x2^2+...+xn^2)-x^2*n]-[(x1^2+x2^2+...+xn^2)-x^2*n+b^2*n]
=-b^2*n
由于b不等于0,所以b^2*n>0;
即p-q