题目

已知数列｛An}和｛Bn｝,对于一切正整数都有：A1Bn+A2Bn-1+A3Bn-2+.+AnB1=3^(n+1)-2n-3成立.
I：如果数列An的通项公式为An=n,求证数列Bn是等比数列
II：如果数列Bn是等比数列,数列An是否是等差数列,是,求其通项公式

提问时间：2021-01-20

答案

(1)依题意数列{an}的通项公式是an=n,
故等式即为bn+2b﹙n-1﹚+3b﹙n-2﹚+…+(n-1)b2+nb1=3^(n+1)-2n-3,
同时有b﹙n-1﹚+2b﹙n-2﹚+3b﹙n-3﹚+…+(n-2)b2+(n-1)b1=3^n-2n-1(n≥2),
两式相减可得bn+b﹙n-1﹚+…+b2+b1=2﹙3^n-1﹚=Sn,
b1=4
bn=Sn-S﹙n-1﹚=4*3^(n-1),b1=4满足此式
所以数列{bn}是首项为4,公比为3的等比数列.
(2)设等比数列{bn}的首项为b1,公比为q,则bn=b1*q^﹙n-1﹚,从而有：
b1*q^﹙n-1﹚*a1+b1*q^﹙n-2﹚*a2+b1*q^﹙n-3﹚*a3+…+b1q*a﹙n-1﹚+b1*an
=3^(n+1)-2n-3.①
又b1*q^(n-2)*a1+b1*q^(n-3)*a2+b1*q^(n-4)*a3+…+b1*a(n-1)=3^n-2n-1(n≥2).②,
故①式变为(3^n-2n-1)*q+b1an=3^(n+1)-2n-3,
an=﹛【3^(n+1)-2n-3】-[(3^n-2n-1)*q]﹜/b1
=[(3-q)*3^n+2n*(q-1)+(q-3)]/b1
显然,当q=3时,an=4n/b1……③
且由已知a1=4/b1满足③式,公差d=an-a(n-1)=1/b1
∴存在{an} 是等差数列 an=4n/b1
当q≠3时,数列{an}不是等差数列