题目

已知数列｛an｝{bn},对任意正整数N,都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+……+an-1b2+anb1=2^n+1-n-2
已知数列｛an｝{bn},对任意正整数N,都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+……+an-1b2+anb1=2^(n+1)-n-2
1、若数列｛an｝是首项和公差都是1的等差数列,求证数列｛bn｝是等比数列
2、若数列｛bn｝是等比数列,证明当q=2时,数列｛an｝是等差数列

提问时间：2021-01-20

答案

1.an=n,
设 Sn=a1bn+a2bn-1+a3bn-2+……+an-1b2+anb1,则:
S_(n)=b_(n)+2*b_(n-1)+3*b_(n-2)+...+(n-1)*b_(2)+n*b_(1)=2^(n+1)-n-2------------------1
S_(n-1)=b_(n-1)+2*b_(n-2)+3*b_(n-3)+...+(n-2)*b(2)+(n-1)*b1=2^(n)-n-1------------------2
用式子1减去式子2,得:
Bn=b_(n)+b_(n-1)+...+b_(1)=2^(n)-1
Bn为 数列{bn}的前n项和.所以数列{bn}的通项为:
b_(n)=B_(n)-B_(n-1)=2^(n)-2^(n-1)=2^(n-1)
所以,数列{bn}为首项为1,公比为2的等比数列.
2.设数列{bn}为首项为x1db,公比为q的等比数列.则:
S_(n)=b*[a_(1)*q^(n)+a_(2)*q^(n-1)+...+a_(n)]=2^(n+1)-n-2----------------------------1
S_(n-1)=b*[a_(1)*q^(n-1)+a_(2)*q^(n-2)+...+a_(n-1)]=2^(n)-n-1
q*S_(n-1)=b*[a_(1)*q^(n)+a_(2)*q^(n-1)+...+a_(n-1)*q]=q*[2^(n)-n-1]----------------------2
用式子1减去式子2,得:
a_(n)=[(2-q)/b]*2^(n)+[(q-1)/b]*(n-1)+(2q-3)/b
若要使得数列{an}为等差数列,则通项应有形式:
a_(n)=a_(1)+(n-1)*d
所以 q=2的时候,数列{an}为等差数列.首项为 1/b,公差为 1/b.