题目

若函数f（x）=x³-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）
A. （-2，2）
B. [-2，2]
C. （-∞，-1）
D. （1，+∞）

提问时间：2021-01-20

答案

解∵f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
当当x＜-1时，f′（x）＞0；
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0；
当x＞1时，f′（x）＞0，
∴当x=-1时f（x）有极大值．
当x=1时，
f（x）有极小值，要使f（x）有3个不同的零点．
只需

f(−1)＞0 f(1)＜0

，解得-2＜a＜2．
故选A．

由函数f（x）=x³-3x+a求导，求出函数的单调区间和极值，从而知道函数图象的变化趋势，要使函数f（x）=x³-3x+a有3个不同的零点，寻求实数a满足的条件，从而求得实数a的取值范围．

本题考点：函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评：考查利用导数研究函数的单调性和极值，函数图象的变化趋势，体现了数形结合和运动的思想方法，属中档题．