题目

如图是反比例函数y=

k

x

的图象，当-4≤x≤-1时，-4≤y≤-1．

（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若M、N分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段MN最短（不需证明），并求出线段MN长度的取值范围．

提问时间：2021-01-20

答案

（1）∵在反比例函数的图象中，当-4≤x≤-1时，-4≤y≤-1，
∴反比例函数经过坐标（-4，-1），
将坐标代入反比例函数y=

k

x

中，
得反比例函数的解析式为y=

4

x

（2分）；
（2）当M，N为一，三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段MN最短．
将y=x代入y＝

4

x

，
解得

x＝2 y＝2

x＝−2 y＝−2

，
即M（2，2），N（-2，-2）．
∴OM=2

2

．
则MN=4

2

．
又∵M，N为反比例函数图象上的任意两点，
由图象特点知，线段MN无最大值，即MN≥4

2

．

（1）中用待定系数法求反比例函数的解析式；
（2）经观察后可发现当MN为直线y=x与双曲线的两个交点时，线段MN最短．联立两方程可求得两交点的坐标M（2，2），（-2，-2）．然后根据两点之间的距离公式求得线段MN的最小值．

本题考点：反比例函数与一次函数的交点问题；两点间的距离公式．

考点点评：本题考查用待定系数法求函数解析式，在第（2）问中关键是要正确判断MN何时出现最小值．