题目

已知定义在实数R上的函数y=f（x）不恒为零，同时满足f（x+y）=f（x）f（y），且当x＞0时，f（x）＞1，那么当x＜0时，一定有（　　）
A. f（x）＜-1
B. -1＜f（x）＜0
C. f（x）＞1
D. 0＜f（x）＜1

提问时间：2021-01-20

答案

对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），
可令x=1，y=0 可得 f（0+1）=f（0）．f（1）
因为当x＞0时，f（x）＞1，故f（1）＞1＞0
所以 f（0）=1
再取x=-y，可得f（0）=f（-y+y）=f（-y）•f（y）=1
所以f（-y）=

1

f(y)

，同理得f（-x）=

1

f(x)

，
当x＜0时，-x＞0，根据已知条件得f（-x）＞1，即

1

f(x)

＞1
变形得0＜f（x）＜1；
故选D．