题目

已知函数f(x)=x2+mx+nlnx(x>0,实数m,n为常数).
（1）若n+3m2=0(m>0),且函数f(x)在x属于[1,+无穷大)上的最小值为0,求m值；
（2）若对于任意的实数a属于[1,2],b-a=1,函数f(x)在区间(a,b)上总是减函数,对每个给定的n,求m的最大值h(n).

提问时间：2021-01-20

答案

（1）因为n+3m2=0时,f（x）=x²+mx-3m²lnx．则：
f'（x）=(2x²+mx-3m²）/x=（2x+3m)(x-m)/x
令f'（x）=0,得：x=m,x=-3m/2
因为：x>0,m>0
所以 x=-3m/2舍去,即：x=m．
①当m＞1时,f（x）在（1,m）上单调递减,在（m,+∞）上单调递增
∴当x=m时,fmin（x）=2m²-3m²lnm．
令2m²-3m²lnm=0,得：m=e^2/3．
②当0＜m≤1时,f'（x）≥0在x∈[1,+∞）上恒成立,f（x）在x∈[1,+∞）上为
增函数,当x=1时,fmin（x）=1+m．
令m+1=0,得m=-1（舍）．
综上所述,所求m为e^2/3．
（2）不好意思,!