题目

如图：在△ABC中，AD⊥BC于D，AD=BD，CD=DE，E是AD上一点，连结BE并延长交AC于点F． 求证：（1）BE=AC；（2）BF⊥AC．

提问时间：2021-01-20

答案

证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC=90°．
在△BDE和△ADC中，

AD＝BD ∠ADC＝∠BDE＝90° CD＝DE

，
∴△BDE≌△ADC（SAS）．
∴BE=AC．
（2）∵△BDE≌△ADC，
∴∠EBD=∠DAC，
∵∠ADB=90°，
∴∠EBD+∠DEB=90°，
∵∠BED=∠AEF，
∴∠AEF+∠EAF=90°，
∴BF⊥AC．

（1）由AD⊥BC可得到∠BDE=∠ADC=90°，又知DE=CD，AD=BD，所以△BDE≌△ADC，从而得出BE=AC．
（2）根据全等三角形的性质可得∠EBD=∠DAC，然后再根据∠EBD+∠DEB=90°，∠BED=∠AEF可得∠AEF+∠EAF=90°，进而得到BF⊥AC．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定与性质定理．证明三角形全等是证明线段和角相等的重要工具．