题目

抛物线C：y=x²上两点M、N满足

MN

＝

1

2

MP

，若

OP

＝(0，−2)，则|

MN

|=______．

提问时间：2021-01-20

答案

设M（x₁，x₁²），N（x₂，x₂²），则

MN

=（x₂-x₁，x₂²-x₁²）

MP

=（-x₁，-2-x₁²）．
因为

MN

＝

1

2

MP

，
所以（x₂-x₁，x₂²-x₁²）=

1

2

（-x₁，-2-x₁²），
即x₂-x₁=-

1

2

x₁，x₂²-x₁²=

1

2

（-2-x₁²），
所以x₁=2x₂，2x₂²=-2+x₁²，
联立解得：x₂=1，x₁=2或x₂=-1，x₁=-2
即M（1，1），N（2，4）或M（-1，1），N（-2，4）
所以|MN|=

10

故答案为

10

．

首先根据M，N在抛物线上设M（x₁，x₁²），N（x₂，x₂²），，进而表示出向量MN和向量MP，再根据

MN

＝

1

2

MP

得出以x₁=2x₂，2x₂²=-2+x₁²，即可求出x₁和x₂，从而求出M，N的坐标，即可得出答案．

本题考点：抛物线的简单性质；向量数乘的运算及其几何意义．

考点点评：本题考查了抛物线的性质以及向量数乘的运算以及几何意义，解题关键是根据向量得出x₁=2x₂，2x₂²=-2+x₁²，属于基础题．