题目

设y=f（x）是一次函数，f（0）=1，且f（1），f（4），f（13）成等比数列，则f（2）+f（4）+…+f（2n）=______．

提问时间：2021-01-20

答案

由已知，假设f（x）=kx+b，（k≠0）
∵f（0）=1=k×0+b，∴b=1．
∵f（1），f（4），f（13）成等比数列，且f（1）=k+1，f（4）=4k+1，f（13）=13k+1．
∴k+1，4k+1，13k+1成等比数列，即（4k+1）²=（k+1）（13k+1），
16k²+1+8k=13k²+14k+1，从而解得k=0（舍去），k=2，
f（2）+f（4）+…+f（2n）
=（2×2+1）+（4×2+1）+…+（2n×2+1）
=（2+4+…+2n）×2+n
=4×

n(n+1)

2

+n
=2n（n+1）+n
=3n+2n²，
故答案为3n+2n²．