题目

求微分方程y″-5y′+6y=xe^2x的通解．

提问时间：2021-01-20

答案

方程y″-5y′+6y=xe^2x的特征方程为：
λ²-5λ+6=0，
特征根为：λ₁=2，λ₂=3．
因为2是方程的单重特征根，
故方程y″-5y′+6y=xe^2x的特解形式为：
y*=x（Ax+B）e^2x．
代入方程整理可得，-2Axe^2x+（2A-B）e^2x=xe^2x，
因此，

−2A＝1 2A−B＝0

⇒A＝−

1

2

，B=-1．
故方程的通解为：y＝C1e2x+C2e3x−

x

2

(x+2)ex．

求解方程的特征值与特解，利用线性微分方程解的结构定理即可得到通解的表达式．

本题考点：线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数非齐次线性微分方程求解．

考点点评：本题考查了二阶常系数非齐次线性微分方程的求解，解题中利用了线性微分方程解的结构定理，是一个基础型题目，难度系数不大．二阶常系数微分方程的求解是一个常考知识点，需要熟记非齐次问题的特解形式并熟练掌握其求解方法．