题目

如图,三角形ABC是斜边为2的等腰直角三角形,点M N分别为AB AC 上的点.过MN的直线将该三角形分成周长相等的两个部分.问,AM加AN是否为定值?如何设计使BMNC 面积最小?

提问时间：2021-01-19

答案

等腰直角三角形ABC,斜边BC=2,
∴两腰AB=AC=BC/√2 = √2
M N分别为AB AC 上的点.过MN的直线将该三角形分成周长相等的两个部分
∴AM+AN+MN = MB+BC+NC+MN
∴AM+AN = MB+BC+NC
又：(AM+AN)+(MB+BC+NC) = AM+MB+BC+AN+NC = AB+BC+AC = √2+2+√2 = 2(√2+1)
∴AM+AN = MB+BC+NC = √2+1
∴AM加AN为定值
当△AMN面积最大时,BMNC 面积最小
AM+AN=√2+1
令AM=x
AN=√2+1-x
S△AMN=1/2AM*AN=1/2x*（√2+1-x) = -1/2{x^2-(√2+1)x}
当x=(√2+1)/2时,S△AMN有最大值,BMNC 面积最小
即当AM=AN=(√2+1)/2时,BMNC 面积最小