题目

n介方阵A可以对角化,那么该对角阵一定是由A的特征值构成的吗?
如何证明

提问时间：2021-01-19

答案

若n阶方阵A可相似对角化为对角阵diag{d1,d2,...,dn},
则d1,d2,...,dn就是A的n个特征值.
如果使用基本结论,易见可以用下面两个结论证明这一点:
1) 相似矩阵有相同的特征多项式,进而所有的特征值也都相同.
2) 对角阵的n个特征值就是其对角元.
这两个结论都不难证明:
1) 若A与B相似,则存在可逆矩阵P,使P^(-1)AP = B.
于是B的特征多项式|λE-B| = |λE-P^(-1)AP| = |P^(-1)(λE-A)P| = |P^(-1)|·|λE-A|·|P| = |λE-A|.
即二者特征多项式相同,进而特征值作为特征多项式的根也都相同.
2) 设对角阵D = diag{d1,d2,...,dn},则λE-D也是对角阵,可得:
特征多项式|λE-D| = (λ-d1)(λ-d2)...(λ-dn),于是特征值就是d1,d2,...,dn.
实际上,也可以直接从特征值特征向量的定义证明这一点:
设可逆矩阵P可使P^(-1)AP = diag{d1,d2,...,dn},即有AP = P·diag{d1,d2,...,dn}.
设P的n个列向量依次为X1,X2,...,Xn,即P可分块表示为[X1,X2,...,Xn].
可算得AP = [AX1,AX2,...,AXn],而P·diag{d1,d2,...,dn} = [d1X1,d2X2,...,dnXn].
比较两边即得AXi = diXi,对i = 1,2,...,n成立.
又P可逆,任意Xi均不为零向量,故Xi是属于特征值di的特征向量,di都是A的特征值.