题目

1.
已知椭圆x²/4+y²/n=1与双曲线x²/8-y²/m=1有相同的焦点,则动点P(n.m)的轨迹方程为；
A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.直线的一部分
2..
已知1/m+2/n=1(m>0,n>0)当mn取最小值时,椭圆x²/m²+y²/n²=1的离心率是；
A.1/2 B.√2/2 C.√3/2 D.1/4

提问时间：2021-01-19

答案

1.已知椭圆x²/4+y²/n=1与双曲线x²/8-y²/m=1有相同的焦点,则动点P(n.m)的轨迹方程为；
A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.直线的一部分
c²=4-n=8+m,故有m+n=-4,这是直线方程,故应选取(D).
2.已知1/m+2/n=1(m>0,n>0)当mn取最小值时,椭圆x²/m²+y²/n²=1的离心率是；
A.1/2 B.√2/2 C.√3/2 D.1/4
∵1/m+2/n=1,∴可令 1/m=sin²x,1/n=(cos²x)/2
于是mn=2/(sin²xcos²x)=8/(4sin²xcos²x)=2/sin²(2x)≥2
当sin²2x=1,即sin2x=1,2x=π/2,x=π/4时mn获得最小值2.
此时 1/m=(√2/2)²=1/2,故m=2;
2/n=(√2/2) ²=1/2,故n=4
椭园:x²/4+y²/16=1.a=4,b=2,焦点在y轴上.
c²=16-4=12,C=2√3,e=c/a=2√3/4=√3/2
故应选取(C).