题目

高二数学、椭圆、文科题目~~~求详细解~~谢谢
已知椭圆长轴长｜A1A2｜=6,｜F1F2｜=4√2,过椭圆的左焦点F1作直线交椭圆于M、N两点,设直线MN的斜率为k,问k取何值时,｜MN｜等于椭圆的短轴长?

提问时间：2021-01-18

答案

有题知,有左焦点的椭圆,焦点在x轴上,a=3,c=2√2,则b=1,方程为
x^2／9+y^2=1,过左焦点且斜率为k的直线MN的方程为：y=k(x+2√2),代入椭圆方程整理得,（1／9+k^2）x^2+4√2×k^2x+8k^2-1=0,有韦达定理得,
x1+x2=-4√2×k^2／(k^+1／9).①,x1x2=(8k^2-1)／(k^+1／9).②.有弦长公式得
|MN|=√（k^+1）×|x2-x1|=√(k^+1)√[(x1+x2)^2-4x1x2]=短轴长=2
把①②代入整理得k=±√3／3,即k=±√3／3时,|MN|的值等于短轴的长.