题目

关于x的方程

4−x2

＝x+a有两个不相等的实根，则a的取值范围是______．

提问时间：2021-01-18

答案

根据题意画出图形，如图所示：

设y₁=x+a，y₂=

4−x2

，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离d=r，即

|a|

2

=2，
解得：a=2

2

或a=-2

2

（舍去），
当直线过（2，0）时，把（2，0）代入直线解析式，求得a=2，
则当直线与半圆有两个公共点，即方程

4−x2

＝x+a有两个不相等的实根，
此时a的取值范围为（2，2

2

）．
故答案为：（2，2

2

）

设方程左边为y₁=x+a，表示一条直线，方程右边y₂=

4−x2

，为圆心为坐标原点，半径为2的半圆，根据题意画出图形，当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出此时a的值；当直线过（2，0）时，把此点坐标代入直线方程求出此时a的值，方程有两个不相等的实根即为两函数图形有两个交点，故根据求出的两种情况a的值写出满足题意的a的范围即可．

本题考点：直线与圆的位置关系．

考点点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，一次函数解析式的确定，以及方程与函数的关系，利用了数形结合的思想，其中根据题意画出相应的图形是解本题的关键．