题目

函数导数的问题
f(x)=x^2*sin1/x,当x不等于0时,利用导数公式f'(x)=2xsin1/x-cos1/x,它在x=0处无意义,但x=0处f(x)是可导的,因为f'(0)=lim[f(x)-f(0)]/(x-0)=lim(x^2sin1/x)/x=limxsin1/x,而有界量与无穷小的乘积是无穷小,所以f'(0)=0,导数存在.
如果使用求极限的方式,求f'(x)在x=0处的左极限不存在,右极限也不存在,为什么不能得出该函数在f'(0)处不可导?

提问时间：2021-01-18

答案

你要分清“函数在某点处的导数”和“导函数在某点处的极限”这两个概念,它们是两个不同的概念,虽然也有一定联系,但完全可能一个存在另一个不存在.你举的那个例子就能很好的说明问题,f(x)在x=0处的导数是存在的,这里f'(0)就是我说的“函数在某点处的导数”这个概念,它是用导数定义求得的,而f'(x)在x=0处的极限不存在（且左右极限都不存在）,即x趋于0时limf'(x)不存在,这是我说的“导函数在某点处的极限”这个概念,它是通过先用求导公式求出不在该点处的导函数f'(x),再求导函数f'(x)在该点处的极限limf'(x)这一途径得到的,这一例子就说明函数在某一点可导不能保证导函数在该点的极限存在.但反过来却可以,即所谓的导数极限定理,这个定理说：如果f(x)在某点x0的邻域内连续,在该点的去心邻域内可导,且导函数在x0点的极限存在,则函数f(x)在x0点也可导,且导函数连续.（注意这定理的条件中甚至未事先假定f(x)在x0点可导）对于左右极限,也有类似的导数极限定理.有不明白的地方欢迎追问.