题目

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和圆C₂：（x-4）²+（y-5）²=4．
（1）若点M∈C₁，点N∈C₂，求|MN|的取值范围；
（2）若直线l过点A（4，0），且被圆C₁截得的弦长为2

3

，求直线l的方程．

提问时间：2021-01-18

答案

（1）∵圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=4的圆心坐标为（-3，1），半径为2，圆C₂：（x-4）²+（y-5）²=4的圆心坐标为（4，5），半径为2，
∴|C₁C₂|=

65

，
∴

65

-4≤|MN|≤

65

+4；
（2）由于直线x=4与圆C₁没有交点，则直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=k（x-4），即kx-y-4k=0，
∴圆心C₁到直线的距离为d=

|7k+1|

k2+1

．
∵直线被圆C₁截得的弦长为2

3

，
∴d=1，即

|7k+1|

k2+1

=1．
整理得48k²+14k=0，解得k=0，或k=-

7

24

．
所求直线方程为y=0，或7x+24y-28=0．

（1）求出圆心坐标，可得圆心距，即可|MN|的取值范围；
（2）直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=k（x-4），利用直线被圆C₁截得的弦长为2

3

，结合圆心C₁到直线的距离，即可求直线l的方程．

本题考点：两圆的公切线条数及方程的确定；圆与圆的位置关系及其判定．

考点点评：本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．