题目

周长相等的n边形,正n边形面积最大
证明周长相等正N边形比任意N边形面积大.

提问时间：2021-01-18

答案

1,2楼证明都不对
1楼的问题是平分周长的2点连线两边的顶点数未必一样多 所以翻转后就不一定是n边形了.
2楼的问题是 一般的多边形没有内切圆
若会高等数学 可以用如下方式证
1任何n边形存在一凸n边形使之面积不小于原n边形.
2有一个顶点在原点的一个凸n边形（包括退化的凸多边形)是由其他n-1个点的坐标决定 所以可以看成2n-2维空间中一点 周长一定的情况下
这些点组成的集合石 2n-2为空间中的一个紧集.
3面积是这个空间中的连续函数 所以存在一点取最大值.则这个点决定的多边形面积最大 设为S.
4若S有2相邻边不相等 则设为AB,BC 则在AC同侧有点B1有 AB1=B1C 且AB1+B1C=AB+BC 则三角形AB1C的面积>ABC的面积.则 将B换为B1 得多边形S1 有面积S1>面积S 则存在凸n边形S2>=S1>S 与S面积最大矛盾.故S所有边相等.
5S的每条边相等 存在S1为正n边形 与S边长相等. 则S1内接与一圆O1 每段边外有一弓形 在S的每边处向外作相同的弓形得以曲边n边形O 则O,O1周长相等.由等周定理 O1的面积>=O的面积 所以 S1面积+n弓形面积>= S面积+n弓形面积 则S1面积>=S面积 故得证.