题目

已知椭圆x=4cos,y=5sin上相邻两顶点A,C,又B,D为椭圆上两个动点,且分别在直线
已知椭圆x=4cos上相邻两顶点A,C,又B,D为椭圆上两个动点,且分别在直线AC的两侧,求四边形ABCD面积的最大值

提问时间：2021-01-18

答案

要求多给分!
A,C为椭圆x=4cos,y=5sin相邻两顶点,不妨设为A（0,5）,C（4,0）.椭圆中心点为（0,0）
请作图看.
B,D为椭圆上两个动点,且分别在直线AC的两侧,不妨设B在AC间的短弧上,D在AC间的长弧上.
设B为（4cosP,5sinP）,D为（4cosQ,5sinQ）,P在0到90度之间,Q在90到360度之间.
要使四边形ABCD面积的最大,D点应该在第三象限,所以Q在180到270度之间,
AD连线交x轴于点E,CD连线交y轴于点F,
四边形ABCD面积为四个三角形面积之和,分别是三角形AOB,三角形BOC,三角形AEO和三角形CED.
s三角形AOB=4cosP*5/2=10cosP,s三角形BOC=5sinP*4/2=10sinP,
根据直线公式先求出E的坐标为(4cosQ/1-sinQ,0),
s三角形AEO=5*|(4cosQ/1-sinQ)|/2= -10cosQ/1-sinQ,
s三角形CED=5|sinQ|*(4-4cosQ/(1-sinQ))/2=5|sinQ|*(2-2cosQ/(1-sinQ))
=-10sinQ+10sinQcosQ/(1-sinQ)
s三角形AOB+s三角形BOC=10cosP+10sinP=10根号2sin(*+P)