题目

x^3-7x^2+12x-10=0 分解(x-a)(x-b)(x-c)
得a+b+c=7
ab+ac+bc=12
abc=10
a,b,c=5,1+i,1-i
我要过程

提问时间：2021-01-18

答案

给一种试根法因式分解,对高次有理系数整式因式分解有效
可解决大学以下有理范围内因式分解问题
前提复杂些,请结合例题分析
设整系数多项式 anx^n+a(n-1)x^(n-1)+……+a1x+a0=f(x)
(1)若x=a是方程f(x)=0的一个根,则f(x)必有因式(x-a)
(2)f(x)=0的所有有理根只能为x=±(a0的约数)/(an的约数）
以上题为例：使x^3-7x^2+12x-10=0 的x的有理数值只可能是=±(10的约数)/(1的约数）,而10的约数为1,2,5,10
只需试=±（1,2,5,10）
只要试出一个根即可,而易知x=5时,x^3-7x^2+12x-10=0
所以x^3-7x^2+12x-10有因式(x-5)
所以x^3-7x^2+12x-10=(x^3-5x^2)-(2x^2-10x)+(2x-10)
(注：括号内为了产生x-5,前一括号的末项和后一括号的首项为了配齐原式）
=x^2(x-5)-2x(x-5)+2(x-5)=(x-5)(x^2-2x+2),剩下的只是一个二次式的因式分解,并不困难,令x^2-2x+2=0,由求根公式知x1=1+i,x2=1-i,
即x^2-2x+2=(x-1-i)(x-1+i)
所以原式可分为(x-5)(x-1-i)(x-1+i)
可知a,b,c=5,1+i,1-i
说明：1、如果次数过高,要多试出几个根,降到2次为止
2、如2x^3-6x+4,可试出x=1是一对重根,x=-2是一个根
所以可直接分为2(x-1)^2(x+2)