题目

奥数一笔画：奇点有没有可能是奇数个?要原因,有图或证明方法最好.

提问时间：2021-01-18

答案

奇点不可能是奇数个的.原因如下：
假设某个图形可以用N笔画出,则N必然是自然数（即要么1笔画出来,要么2笔画出来,而不可能是1笔半）.而任何1笔,必然有且只有1个起点和1个终点（如果起点和终点在同一点,也是有1个起点和1个终点的,只不过重合了而已,注意!）.
所以,N笔的所有起点数和终点数之和,必然是2N.
而图形的奇点,则是由笔划的起点和终点组成的.
由于偶点发出的线条为偶数,所以：要么偶点既不是笔划的起点又不是终点,要么就是包含着偶数个起点（或终点）,即偶点中起点数+终点数必然是偶数,设这个偶数为2X.
从以上分析可以知道,奇点的数目,就是2N减去偶点中起点和终点数,而偶点中起点数+终点数为偶数2X,所以奇点数=2N-2X=2（N-X）,即奇点数必然为偶数.