题目

已知命题P：函数y=log_a（1-2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．

提问时间：2021-01-18

答案

∵命题P函数y=log_a（1-2x）在定义域上单调递增；
∴0＜a＜1（3分）
又∵命题Q不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立；
∴a=2（2分）
或

a−2＜0 △＝4(a−2)2+16(a−2)＜0

，（3分）
即-2＜a≤2（1分）
∵P∨Q是真命题，
∴a的取值范围是-2＜a≤2（5分）

根据对数函数的函数性，复合函数的单调性，我们可以可以得到命题P为真时，实数a的取值范围；根据二次不等式恒成立的条件，我们可以得到命题Q成立时，实数a的取值范围；再根据P∨Q是真命题时，两个命题中至少一个为真，进而可以求出实数a的取值范围．

本题考点：命题的真假判断与应用．

考点点评：本题考查的知识点是命题真假判断与应用，其中根据对数函数的函数性，复合函数的单调性，及二次不等式恒成立的条件，判断命题P与Q的真假是解答本题的关键．