题目

已知a,b,c∈R+,用综合法证明：
(1) (ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c²)≥16abc
(2) 2(a³+b³+c³）≥a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b)
已知n＞0,求证n+4/n²≥3
1.设0＜a,b,c＜1,证明(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于1/4.
2.用放缩法证明 1+1/根号2+1/根号3+…+1/根号n＜2根号n.
（提示：当i大于1时,根号i+根号i-1＜2根号i,从而1/根号i＜2（根号i-根号i-1）.）
3.设x,y为正数,且x+y=1,用反证法证明（1/X²-1)(1/y²-1)≥9

提问时间：2021-01-18

答案

(1) (ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c²)=(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)
≥2*根号(a) *2 根号(b) *2根号(ac) *2根号(bc) =16abc
n+4/n²=n/2+n/2+4/n²≥3* ³根号(n/2*n/2*4/n²)=3
1 反证法:
假设 (1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4.
那么 (1-a)b(1-b)c(1-c)a>1/64
但是 ((1-a)+a)²=1≥4(1-a)a
同理 ((1-b)+b)²=1≥4(1-b)b
((1-c)+c)²=1≥4(1-c)c
得出 1/64 ≥1-a)b(1-b)c(1-c)a >1/64
矛盾
2 1/根号i＜2（根号i-根号i-1)
1+1/根号2+1/根号3+…+1/根号n< 1+2（根号2-根号1)+2（根号3-根号2)+.
+2（根号n-根号n-1)=2根号n