题目

求中心在坐标原点,坐标轴为对称轴,过点A（4,1）且欲直线x+4y-10=0,有且只有一个公共点的椭圆方程

提问时间：2021-01-18

答案

我算老半天才拿5分 T T （注意x2即x的平方的意思,其他一样）
1,设椭圆方程x2/a2 + y2/b2 =1
2,因为过(4,1),将此点代入椭圆方程,得16b2+a2=a2*b2
移项后可用b2表达a2,即a2=16b2/（b2-1）
3,将第2步所得的a2的表达式代入椭圆方程,可以消去方程中的a2,只剩b2
整理后椭圆方程变为b2x2+[16b2/(b2-1)]y2=16b4/(b2-1)
将该方程与直线x+4y-10=0连立,即将x=10-4y代入上面的椭圆方程消去x,并化简得：
[16b2+16b2/(b2-1)]y2-80b2y+100b2-16b4/(b2-1)=0
这是关于y的一元二次方程,因为交点只有一个,所以y只有一个根（或者说是两个相等的根）
所以 方程的根的判别式=B2-4AC=.（好多字,不写了）=0
化简后的判别式是 4b4-25b2+25=0
所以b2=5 或b2=5/4 代入前面第2步的a2的表达式可得与两个b2对应的a2=20,a2=80
将a2与b2代入第1步设的椭圆方程,即得
椭圆方程为：
5x2+20y2=100或
1.25x2+80y2=100