题目

（50分）正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=2,AA1=5,EF分别为D1D,B1B上的中点,且DE=B1F=1
1 求证：BE垂直于平面ACF
2 求点E到平面ACF距离

提问时间：2021-01-17

答案

证明：（1）连接AC,BD交于O,在CC1上取点G,使CG=1,连接BG交CF于H
所以tanCBG=CG/CB=1/2,tanCFB=CB/BF=1/2
即角CBG=角CFB
所以角CBG+角BCF=角CFB+角BCF=90度
所以CF垂直于BG
因为EG//CD
所以EG垂直于平面BB1CC1
所以EG垂直于CF
所以CF垂直面BGE
所以CF垂直于BE
因为AC垂直于BD,且AC垂直于DD1
所以AC垂直于面BEC
所以AC垂直于BE
所以BE垂直于面ACF
（2）连OF交BE于M
由面积可知道BM*OF=OB*BF
OF=3倍根号2,OB=根号2,BF=4,BE=3
所以BM=4/3,所以EM=BE-BM=5/3
EM即为所求的E到面ACF的距离