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题目
数列.
函数f(x)=a1+a2*x+a3*(x的平方)+…+an*(x的n减1次方).f(0)=1/2,数列{an}满足f(1)=n平方*an.求{an}通项公式.实在没有悬赏分了.抱歉.

提问时间:2021-01-17

答案
没分不要紧.并不是所有人都为了虚拟的积分和虚荣的等级而回答问题的.
1.f(0)=1/2,那么代入f(x)的表达式.可以轻易得到a1=1/2
将1代入f(x)表达式得f(1)=a1+a2+.+an
又有f(1)=n2*an 则联立这两个式子不难得到:
an=(a1+a2+.+an-1)/(n2-1)=Sn-1/(n2-1) 其中Sn-1是前n-1项的和
2.这一步是草稿纸上做的,可以不用写到答题纸上.你根据a1的值和上面得到an的表达式可以得到a2=1/6,a3=1/12,a4=1/20.好了你可以猜测难道an=1/n(n+1),好了下一步是数学归纳法了.
3.假设an=1/n(n+1)是通项公式.那么数学归纳法两步走了:
(1)对于a1,通项公式是成立的
(2)假设通项公式对an-1成立,其中n-1>2,那么又1中得到的式子代入
an=(a1+a2+.+an-1)/n2-1
把a1+a2+.+an-1=1/1*2+1/2*3+.+1/n(n-1)
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+.(1/n-1-1/n)
=1-1/2+1/2-1/3.+1/n-1-1/n
=1-1/n
将这个结果代入上式,不难得出:
an=1/n(n+1) 通项公式假设成立.
即an的通项公式就是an=1/n(n+1) 证毕
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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