题目

数列.
函数f(x)=a1+a2*x+a3*（x的平方）+…+an*（x的n减1次方）.f（0）=1/2,数列｛an｝满足f（1）=n平方*an.求｛an｝通项公式.实在没有悬赏分了.抱歉.

提问时间：2021-01-17

答案

没分不要紧.并不是所有人都为了虚拟的积分和虚荣的等级而回答问题的.
1.f(0)=1/2,那么代入f(x)的表达式.可以轻易得到a1=1/2
将1代入f(x)表达式得f(1)=a1+a2+.+an
又有f(1)=n2*an 则联立这两个式子不难得到：
an=（a1+a2+.+an-1）/(n2-1)=Sn-1/(n2-1) 其中Sn-1是前n-1项的和
2.这一步是草稿纸上做的,可以不用写到答题纸上.你根据a1的值和上面得到an的表达式可以得到a2=1/6,a3=1/12,a4=1/20.好了你可以猜测难道an=1/n(n+1),好了下一步是数学归纳法了.
3.假设an=1/n(n+1)是通项公式.那么数学归纳法两步走了：
（1）对于a1,通项公式是成立的
（2）假设通项公式对an-1成立,其中n-1>2,那么又1中得到的式子代入
an=（a1+a2+.+an-1）/n2-1
把a1+a2+.+an-1=1/1*2+1/2*3+.+1/n(n-1)
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+.(1/n-1-1/n)
=1-1/2+1/2-1/3.+1/n-1-1/n
=1-1/n
将这个结果代入上式,不难得出：
an=1/n(n+1) 通项公式假设成立.
即an的通项公式就是an=1/n(n+1) 证毕