题目

数列{an}中,a1=1,a(n+1)=5/2-1/an.设bn=1/(an-2),求{bn}的通项公式（2）设cn=-3n*bn,求{cn}前n项和

提问时间：2021-01-16

答案

(1)由 bn=1/(an-2) 得an=1/bn+2 a(n+1)=1/b(n+1)+2
带入an 与an+1的关系式 得1/b(n+1)+2=5/2-bn/(bn+2) 即b(n+1=4bn+2
于是 b(n+1)+2/3=(b1+2/3)*4 从而bn+2/3为等比数列 bn+2/3=(b1+2/3)*4^(n-1)
代入数据 得 bn=-1/3*4^(n-1)-2/3
(2)cn=n4^(n-1)+2n
设 dn=n4^(n-1) kn=2n
则 sn=d1+d1+.dn 即 sn=1+2*4+.(n-1)*4^(n-2)+n*4^(n-1)
则 4sn=4+2*4^2+.(n-1)*4^(n-1)+n*4^n
两式一减 得 3sn=n4n^n-(4^(n-1)+4^(n-2)+.+4+1)=n4^n-(4^(n-1)-1)/3
于是 sn=n4^n/3-(4^(n-1)-1)/9 化简 sn=(4^(n-1)*(12n-1)+1)/9
对于kn sn1=n*(n+1)
所以cn的前n项和为 sn2=sn+sn1=（4^(n-1)*(12n-1)+1)/9+n*(n+1)