题目

关于x的方程k.9^x-k.3^(x+1)+6(k-5)=0在区间[0,2]上有解,求k的取值范围,若方程在[0,2]上只有一个解呢

提问时间：2021-01-16

答案

令y=3^x,则原来方程变为ky^2-3ky+6(k-5)=0
当x在[0,2]时,y属于[1,9]
首先考虑特殊情况,当k=0时,原方程变为-30=0无解,所以k不等于0
此时方程为2次方程,有解时delta=9k^2-24k(k-5)= -15k^2+120k >=0, 所以0< k <=8
方程在y=-b/2a=3k/(2*k)=1.5处取得最小值
对于二次函数f(y)=ky^2-3ky+6(k-5)
f(1)= k-3k+6(k-5) = 4k-30
f(9)=81k-27k+6(k-5)= 60k-30
f(1.5)= 2.25k-4.5k+6k-30=3.75k-30
如果画出图来很容易看出
当只有一个解时,有两种情况,f(1.5)=0或者f(1)<0, f(9)>=0
k=8时,方程有唯一解y=1.5
当0=0可以得到 0.5<=k<7.5
如果有两个解,则f(1)>=0,f(9)>=0得到k>=7.5且k>=0.5且k<8
所以：有解条件是0.5<=k <=8
唯一解条件是k=8或者0.5<=k <7.5