题目

请问是否可以比较两个无穷大的数或集合的大小（多少）
请讲得细致一点,

提问时间：2021-01-16

答案

关于两个数大小的比较和两个集合元素个数的比较,在有限的情况下是非常简单的,但是考虑无穷大的情况就比较复杂了.我简单说一下思路：
无穷大可以分为可数无穷和不可数无穷.（具体的数学定义可以在百度的百科里查,我已经给出定义了,也可以直接进入我的贡献里）
简单地说可数就是可以按照顺序排列,如自然数集,就可以按照1,2,3……这样排序下去（排法不唯一）,如有理数就可以按照1/1,1/2,2/1,1/3,2/2,3/1,1/4,2/3,3/2,4/1,……（其中如1/1,2/2等是相同的数,在排序完后可以删除,这不影响结果）.
另外有一类集合如实数集,它的元素不能按照一个顺序进行排列.这是可以证明的,我们不妨取0到1之间的实数为例,假设已经排成一序列,那么我们取第1个数小数点后第1位,第2个数小数点第2位,……第n个数小数点后第n为,……把这些数分别作为新的一个数的小数点后的第1、1、……n、……位,这样得到的数不同于序列中的任何一个数,所以就证明了实数是不可以排序的.（在证明时我们忽略了新得到的数是0.9999999999……这样的可能,这只要不用十进制表示就可以避免了,不影响结论）.像实数这样不能被排序的集合就称为不可数集合.
比较两个集合元素个数的方法是进行一一比较,打个比方：两个小孩在比较谁的糖多,在不数数的情况下,通常是你一颗、我一颗,你一颗、我一颗……当最后大家都没有了,那就是一样多,如果一个人还有,另一个拿不出来了,那就还有的人就比较多.数学上比较两个集合的个数的多少也是这样的,不过数学上有个概念叫做一一映射（可以看我的“我的贡献”,我已经把他放到百科里了）.如果两个集合可以建立一个一一映射,或者说存在一个一一对应的关系,则这两个集合的元素是一样多的,否则是不一样多的.这时如果能够找到一个从A集合到B集合的单射,那么B的个数就比A多了,反之亦然.
这样就可以得到一个非常有趣的结果了.只要建立对应关系y=2x,（这里y表示偶数集中的元素,x表示自然数集中的元素）,显然这个对应关系是一一对应,偶数集的元素个数和自然数集的个数是相等的.同样的我们可以构造对应关系得到自然数和有理数个数是相等的.也就是说在无穷多的情况下,一个无穷集合可以和它的真子集个数相等.这是集合论的一个结论,也是无穷集的性质之一.
关于数的比较和集合的比较是一样的.每个集合对应的有一个势,也就是集合个数,也称为基数.在有限集每个集合的元素还对应了一个序数,最大的序数就是基数.
所以对于无穷数的比较可以转化为比较具有该数为基数的集合.对应的无穷集合可以和其子集个数相等,所以在无穷的情况下一个数的二分之一也可以和其本身相等.
写了这么多搂主应该知道方法了吧.我就此打住,后面就涉及到连续统问题了,这是目前集合论中尚未解决的问题.