题目

在正方体ABCD—EFGH,有一个棱长为根号2的正四面体G-BDE,
则正四面体的外接球半径为多少?
正四面体的体积为多少?

提问时间：2021-01-16

答案

棱长为根号2的正四面体G-BDE,其各棱为4个正方形的对角线,则正方体棱长为1,正四面体外接球就是正方体的外接球,它为对角线的一半,
2R=√3,
R=√3/2.
设正四面体边长为a,
则正三角形高为√3a/2,外（内、重）心距顶点为（2/3）*√3a/2=√3a/3,
高为√[a^2-(√3a/3)^2]=√6a/3,
V正四面体=(a*√3a/2/2)*(√6a/3)/3=√2a^3/12,
a=√2,
代入,
V正四面体=1/3.
简单计算,正方体体积-4*三棱锥体积
=a^3-4*a^3/6=a^3/3=1/3.