题目

已知a,b,c都是正数,证明：a2+b2+c2+(1/a+1/b+1/c)2大于等于6倍根3,并确定a,b,c为何值时,等号成立.
同上

提问时间：2021-01-15

答案

证明：
（证法一）
因为a,b,c均为正数,由平均值不等式得 {a2+b2+c2≥3(abc)231a+1b+1c≥3(abc)-13①
所以 (1a+1b+1c)2≥9(abc)-23②（
故 a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2≥3(abc)23+9(abc)-23．
又 3(abc)23+9(abc)-23≥227=63③
所以原不等式成立
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立．当且仅当 3(abc)23=9(abc)-23时,③式等号成立．
即当且仅当a=b=c= 314时,原式等号成立．
（证法二）
因为a,b,c均为正数,由基本不等式得 {a2+b2≥2abb2+c2≥2bcc2+a2≥2ac
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①
同理 1a2+1b2+1c2≥1ab+1bc+1ac②
故 a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2③
≥ab+bc+ac+31ab+31bc+31ac
≥63所以原不等式成立．
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,（ab）2=（bc）2=（ac）2=3时,③式等号成立．
即当且仅当a=b=c= 314时,原式等号成立