题目

是一条填空题,但是希望大侠们也能给个过程：1.在面积为2的三角形ABC中,E、F点分别是AB、AC的中点,点P在直线EF上,则(向量PC*向量PB+向量BC的平方)的最小值是___

提问时间：2021-01-15

答案

P在直线EF上,所以三角形PBC面积为1
设角BPC为x,PB=a,PC=b,BC=c.则S三角形PBC=(1/2)absinx=1
ab＝2/sinx
(向量PC*向量PB+向量BC的平方)=abcosx+c^2
余弦定理：c^2=a^2+b^2-2abcosx代入上式
(向量PC*向量PB+向量BC的平方)=abcosx+a^2+b^2-2abcosx
a^2+b^2>=2ab
所以(向量PC*向量PB+向量BC的平方)>=2ab-abcosx=(4-2cosx)/sinx
设（4-2cosx）/sinx＝m,则msinx+2cosx=4,
使用辅助角公式：根号(m^2+4)*sin(x+a)=4
正弦范围【－1,1】
所以 根号（m^2+4） 大于等于 4
解得最小值为2根号3