题目

已知a,b,c>0,求证：2(a³+b³+c³)+3abc≥3(a²b+b²c+c²a).
a=b=c等号成立.

提问时间：2021-01-15

答案

a³+b³+c³+3abc≥a²b+b²c+c²a+b²a+c²b+a²c
a³+b³+c³≥2(a²b+b²c+c²a)-(b²a+c²b+a²c)
第1式是schur不等式,等价于：a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-b)(c-a)≥0,由于全对称,所以可以不妨设a≥b≥c>0
然后设
b=c+x
a=c+x+y
x≥0
y≥0
a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-b)(c-a)
=(c+x+y)(x+y)y-(c+x)xy+cx(x+y)
=(c+x+y)(x+y)y-xxy+cxx
≥cxx
≥0
第2式整理之后是：(a³+b²a)+(b³+c²b)+(a²c+c³)≥2a²b+2b²c+2c²a
利用(a³+b²a)≥2a²b 显然.
1,2式子相加,得证.