题目

选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线L：ρsin²θ=2cosθ，过点A（5，α）（α为锐角且tanα＝

3

4

）作平行于θ＝

π

4

(ρ∈R)的直线l，且l与曲线L分别交于B，C两点．
（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线l的普通方程；
（Ⅱ）求|BC|的长．

提问时间：2021-01-15

答案

（Ⅰ）由题意得，点A的直角坐标为（4，3），
曲线L即 ρ² sin²θ=2ρcosθ，它的普通方程为：y²=2x，
由于直线l的斜率为1，且过点A（4，3），故直线l的普通方程为：y-3=x-4，即y=x-1．
（Ⅱ）设B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），由

y2＝2x y＝x−1

可得 x²-4x+1=0，
由韦达定理得x₁+x₂=4，x₁•x₂=1，
由弦长公式得|BC|＝

1+k2

|x1−x2|＝2

6

．

（Ⅰ）先求的点A的直角坐标为（4，3），求得曲线L的普通方程为：y²=2x，由于直线l的斜率为1，且过点
A（4，3），由点斜式求得直线l的普通方程为y=x-1．
（Ⅱ）把曲线L的方程和直线l的方程联立方程组，化为一元二次方程，利用韦达定理求出x₁+x₂4和x₁•x₂的值，再利用
弦长公式求得|BC|的值．

本题考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆锥曲线的关系；点的极坐标和直角坐标的互化．

考点点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，弦长公式的应用，属于基础题．