题目

椭圆

x2

4

+y2＝1的内接矩形的面积的最大值为______．

提问时间：2021-01-15

答案

由题意的方程可知：矩形的对角线的斜率存在．
设椭圆内接矩形一条对角线的方程为y=kx，不妨设k＞0．
联立

y＝kx x2 4 +y2＝1

，
化为（1+4k²）x²=4，取第一象限的顶点A（x，y），
解得x＝

2

1+4k2

，∴y＝

2k

1+4k2

．
∴内接矩形的面积S=2x•2y=4xy=4×

4k

1+4k2

=

16

1 k +4k

≤

16

2 1 k •4k

=4．当且仅当k=

1

2

上取等号．
故椭圆

x2

4

+y2＝1的内接矩形的面积的最大值为4．
故答案为：4．

由题意的方程可知：矩形的对角线的斜率存在．设椭圆内接矩形一条对角线的方程为y=kx，不妨设k＞0．
与椭圆的方程联立距离解得第一象限的顶点A（x，y），再利用内接矩形的面积S=2x•2y=4xy，及基本不等式即可得出．

本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：本题考查了椭圆的对称性、内接矩形的面积的最大值问题、基本不等式的性质，属于难题．