题目
设函数f(x)=1-a/2×x²+ax-㏑x﹙a∈R﹚ 1.当a=1时.求函数f(x)的极值 2.当a>1时.函数f(x)的单调性
3.若对任意a∈﹙2.3﹚及任意X1 ,X2∈[1,2],恒有ma+㏑2>|f(x1)-f﹙x2﹚|成立,求实数m的取值范围.
3.若对任意a∈﹙2.3﹚及任意X1 ,X2∈[1,2],恒有ma+㏑2>|f(x1)-f﹙x2﹚|成立,求实数m的取值范围.
提问时间:2021-01-15
答案
(1)函数的定义域为(0,+∞).
当a=1时,f(x)=x−lnx,f′(x)=1−1/x=(x-1)/x
令f′(x)=0,得x=1.
当0<x<1时,f′(x)<0;当x>1时,f′(x)>0.
∴f(x)极小值=f(1)=1,无极大值
(2)f′(x)=(1−a)x+a−1/x =[(1−a)x2+ax−1] /x=[(1−a)x+1](x−1)/ x
=(1−a)[x−1/ (a−1)](x−1)/ x
当1 / (a−1)=1,即a=2时,f′(x)=−(x−1)2 / x ≤0,f(x)在(0,+∞)上是减函数;
当1 / (a−1) <1,即a>2时,令f′(x)<0,得0<x<1 / (a−1) 或x>1;令f′(x)>0,得
1 / (a−1) <x<1.
当1 / (a−1) >1,即1<a<2时,令f′(x)<0,得0<x<1或x>1 / (a−1) ;令f′(x)>0,得
1<x<1 / (a−1)
综上,当a=2时,f(x)在定义域上是减函数;
当a>2时,f(x)在(0,1 / (a−1) )和(1,+∞)单调递减,在(1 / (a−1),1)上单调递增;
当1<a<2时,f(x)在(0,1)和(1 / (a−1),+∞)单调递减,在(1,1 / (a−1))上单调递增
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当a∈(2,3)时,f(x)在[1,2]上单调递减,
∴当x=1时,f(x)有最大值,当x=2时,f(x)有最小值.
∴|f(x1)−f(x2)|≤f(1)−f(2)=a/2−3/2+ln2
∴ma+ln2>a/2−3/2+ln2
而a>0经整理得m>1/2−3/2a
由2<a<3得−1/4<1/2−3/2a<0,所以m≥0.
当a=1时,f(x)=x−lnx,f′(x)=1−1/x=(x-1)/x
令f′(x)=0,得x=1.
当0<x<1时,f′(x)<0;当x>1时,f′(x)>0.
∴f(x)极小值=f(1)=1,无极大值
(2)f′(x)=(1−a)x+a−1/x =[(1−a)x2+ax−1] /x=[(1−a)x+1](x−1)/ x
=(1−a)[x−1/ (a−1)](x−1)/ x
当1 / (a−1)=1,即a=2时,f′(x)=−(x−1)2 / x ≤0,f(x)在(0,+∞)上是减函数;
当1 / (a−1) <1,即a>2时,令f′(x)<0,得0<x<1 / (a−1) 或x>1;令f′(x)>0,得
1 / (a−1) <x<1.
当1 / (a−1) >1,即1<a<2时,令f′(x)<0,得0<x<1或x>1 / (a−1) ;令f′(x)>0,得
1<x<1 / (a−1)
综上,当a=2时,f(x)在定义域上是减函数;
当a>2时,f(x)在(0,1 / (a−1) )和(1,+∞)单调递减,在(1 / (a−1),1)上单调递增;
当1<a<2时,f(x)在(0,1)和(1 / (a−1),+∞)单调递减,在(1,1 / (a−1))上单调递增
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当a∈(2,3)时,f(x)在[1,2]上单调递减,
∴当x=1时,f(x)有最大值,当x=2时,f(x)有最小值.
∴|f(x1)−f(x2)|≤f(1)−f(2)=a/2−3/2+ln2
∴ma+ln2>a/2−3/2+ln2
而a>0经整理得m>1/2−3/2a
由2<a<3得−1/4<1/2−3/2a<0,所以m≥0.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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