题目

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D₁D=

2

．

（1）求直线D₁B与平面ABCD所成角的大小；
（2）求证：AC⊥平面BB₁D₁D．

提问时间：2021-01-14

答案

（1）∵D1D⊥平面ABCD，BD是D1B在底面ABCD上的射影，∴∠D1BD是直线D1B与平面ABCD所成的角，在直角三角形D1BD中，BD=2，D1D=2，则tan∠D1BD=D1DBD=1，∴∠D1BD=45°，即直线D1B与平面ABCD所成角的大小为45°；（2）...

（1）由D₁D⊥平面ABCD，BD是D₁B在底面ABCD上的射影，则∠D₁BD是直线D₁B与平面ABCD所成的角，在直角三角形D₁BD中，由已知数据，即可求出∠D₁BD；
（2）要证AC⊥平面BB₁D₁D，只需证得AC⊥BD，AC⊥D₁D，由正方形的对角线的性质和D₁D⊥底面ABCD，即可得证．

本题考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

考点点评：本题考查空间直线与平面所成的角，考查直线与平面垂直的判定和性质，同时考查运算能力，属于中档题．