题目

四面体的一条棱长是x,其他各棱长都是1.把四面体体积v表示成x的函数f（x）.
求f（x）的值域和单调区间.

提问时间：2021-01-14

答案

设四面体P-ABC,PA=PB=AB=BC=AC=1,PC=x,
取AB中点E,PC中点F,
△PAB和△ABC都是全等的正三角形,
PE⊥AB,CE⊥AB,且PE=CE,
AB⊥平面PEC,
则AE和BE分别是三棱锥A-PEC和B-PEC的高,
VP-ABC=AE*S△PCE/3+BE*S△PCE/3=AB*S△PCE/3,
作△PEC的高EF,
CE=√3/2,EF=√（3/4-x^2/4)=√(3-x^2)/2,
S△PCE=EF*PC/2=x√(3-x^2)/4,
V=x√(3-x^2)/12,
把△ABC固定不动,△PAB绕轴AB旋转,体积轴小到大,当平面PAB垂直平面ABC时,高最大,体积最大,或者说三角形PEC是等腰直角三角形时面积最大,此时体积最大,此后又逐渐减小.
最大时V=[（√3/2）*√3/2）/2]/3=1/8.
∴0〈f(x)≤1/8.
也可以求一阶导数令其为0,解出,也可以把x放入根号内,解出x^2极值,
V=(1/12)√-[（x^4-3x^2+9/4)+9/4]=(1/12)[√-（x^2-3/2)^2+9/4]
最大值为1/8,
0＜ x≤√3/2时为单调增,√3/2≤x