题目

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx（λ≤-1）是区间[-1，1]上的减函数，（1）求a的值．（2）若g（x）≤t²-λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．

提问时间：2021-01-14

答案

（1）f（x）=ln（e^x+a）是奇函数，
则ln（e^x+a）=-ln（e^-x+a）恒成立（2分）
∴（e^x+a）（e^-x+a）=1
1+ae^-x+ae^x+a²=1
∴a（e^x+e^-x+a）=0
∴a=0（4分）
（2）又∵g（x）在[-1，1]上单调递减，
∴g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1（6分）
∴只需-λ-sin1≤t²-λt+1，（8分）
∴（1-t）λ+t²+sin1+1≥0（其中λ≤-1恒成立．
令h（λ）=（1-t）λ+t²+sin1+1（λ≤-1）
则

1−t≤0 t−1+t2+sin1+1≥0

（11分）
∴

t≥1 t2+t+sin1≥0

而t²+t+sin1≥0恒成立
∴t≥1（13分）

（1）直接利用奇函数的定义f（-x）=-f（x）恒成立代入整理后即可求a的值；
（2）先利用函数g（x）在[-1，1]上单调递减，求出其最大值，再把g（x）≤t²-λt+1在x∈[-1，1]上恒成立转化为其最大值小于等于t²-λt+1恒成立，进而得到（1-t）λ+t²+sin1+1≥0（其中λ≤-1）恒成立，再利用二次函数恒成立问题的解法即可求t出的取值范围．

本题考点：奇偶性与单调性的综合．

考点点评：本题主要考查函数单调性和奇偶性以及函数恒成立问题．二次函数的恒成立问题分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0．