题目

已知函数f(x)=x2-aInx在区间(1,2]上是增函数,g(x)=x-a√x在区间(0,1)上为减函数.
(1)试求函数f(x),g(x)的解析式;(2)求证:当x＞0时,方程f(x)=g(x)+2有唯一解.

提问时间：2021-01-14

答案

f(x)=x^2-aInx在区间(1,2]上是增函数
则可知
f'(x)=2x-a/x=0时,x=√（a/2）,-√（a/2）
显然,x>√（a/2）,或者x<-√（a/2）时,函数单增
则可知√（a/2）<=1,则0g(x)=x-a√x在区间(0,1)上为减函数
则可知
g'(x)=1-a/2√x=0时,x=（a/2）^2,
显然,x<=（a/2）,时,函数单减
则可知根号（a/2）^2>=1,则a>=2
综合考虑得a=2
所以函数f(x),g(x)的解析式
f(x)=x^2-2lnx
g(x)=x-2√x
令F(x)=f(x)-g(x)-2
则显然F(1)=0,而
F'(x)
=f'(x)-g'(x)
=2x-2/x-1+1/√x
=（2x^2-x+√x-2)/x