题目

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF²=BE²+CF²．

提问时间：2021-01-14

答案

证明：延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，如图所示：
在△EDF和△GDF中

DF=DF ∠EDF=∠FDG=90° DG=DE

，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD=DC
在△BDE和△CDG中

BD=DC ∠BDE=∠CDG

，
∴△BDE≌△CDG（SAS）
∴BE=CG，∠B=∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA=180°-∠A=180°-90°=90°
在Rt△FCG中，由勾股定理得：
FG²=CF²+CG²=CF²+BE²
∴EF²=FG²=BE²+CF²．

延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，由于DF=DF，∠EDF=∠FDG=90°，DG=DE，可得出△EDF≌△GDF，所以EF=FG，同理证出BE=CG，所以要证明EF²=BE²+CF²，只需证明FG²=FC²+CG²即可．

本题考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查勾股定理的应用，关键在于找出相应的直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方，证明过程中运用到全等三角形的判定和等价替换的方法．