题目

已知函数f（x）的定义域为I，导数f_n（x）满足0＜f（x）＜2且fn（x）≠1，常数c₁为方程f（x）-x=0的实数根，常数c₂为方程f（x）-2x=0的实数根．
（1）若对任意[a，b]⊆I，存在x₀∈（a，b），使等式f（b）-f（a）=（b-a）f_n（x₀）成立．求证：方程f（x）-x=0不存在异于c₁的实数根；
（2）求证：当x＞c₂时，总有f（x）＜2x成立；
（3）对任意x₁、x₂，若满足|x₁-c₁|＜1，|x₂-c₁|＜1，求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜4．

提问时间：2021-01-14

答案

证明：（1）假设方程f（x）-x=0有异于c₁的实根m，即f（m）=m，
则有m-c₁=f（m）-f（c₁）=（m-c₁）f_n（x₀）成立．
因为m≠c₁，所以必有f_n（x₀）=1，这与f_n（x）≠1矛盾，
因此方程f（x）-x=0不存在异于c₁的实数根．…（4分）
（2）令h（x）=f（x）-2x，
∵h_n（x）=f_n（x）-2＜0，∴函数h（x）为减函数．
又∵h（c₂）=f（c₂）-2c₂=0，∴当x＞c₂时，h（x）＜0，即f（x）＜2x成立．…（8分）
（3）不妨设x₁≤x₂，∵f_n（x）＞0，∴f（x）为增函数，即f（x₁）≤f（x₂）．
又∵f_n（x）＜2，∴函数f（x）-2x为减函数，即f（x₁）-2x₁≥f（x₂）-2x₂．
∴0≤f（x₂）-f（x₁）≤2（x₂-x₁）．
即|f（x₂）-f（x₁）|≤2|x₂-x₁|．
∵|x₂-x₁|=|x₂-c₁+c₁-x₁|≤|x₂-c₁|+|x₁-c₁|＜2，
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜4．…（15分）