题目

给定函数f（x）=x+ax+b,若对于任意x,y∈R,均有pf(x)+qf(y)≥f(px+qy),其中p+q=1,则p的取值范围是?

提问时间：2021-01-14

答案

(注意随时使用条件：0≤p≤1,p+q=1) 我们恒有：(x-y)≥0 所以：x+y≥2xy ==> pqx+pqy≥2pqxy ==> p(1-p)x+(1-q)qy≥2pqxy ==> px+qy≥px+2pqxy+qy ==> (px+qy)+(pax+qay)+(pb+qb)≥(px+qy)+(pax+qay)+b ==> p(x+ax+b)+q(y+ay+b)≥(px+qy)+a(px+qy)+b ==> pf(x)+qf(y)≥f(px+qy) 证毕.