题目

求抛物线y=x²和直线y=x-1间最短距离.

提问时间：2021-01-14

答案

本题解法有很多种.可以用直线簇y=x+c来截抛物线y=x²,得x²-x-c=0,当恰好相切时判别式△=1+4c=0,解出c=-1/4,代入解得x=1/2,也即切点为(1/2,1/4).根据点到直线距离求出最短距离
dmin=|1/2-1/4-1|/√2=3√2/8
或者直接设抛物线上动点P(t,t^2),根据点到直线距离公式
d=|t-t^2-1|/√2
因|t-t^2-1|=|-(t-1/2)^2-3/4|=|(t-1/2)^2+3/4|≥3/4
故d=|t-t^2-1|/√2≥(3/4)/(√2)=3√2/8
当然还可以用求导y'=2x=1解得x=1/2,y=1/4,该点据直线y=x-1距离最小.