题目

sinx+cosx在x趋近于0时能等价替换成x+1吗?,加减不是不能进行等价无穷小的替换吗?
要比较肯定的。求极限时能替换吗？这个式子的1/x次方的极限怎么求？

提问时间：2021-01-14

答案

加减不能等价替换说的是部分,如果把加减整体一块替换,有时候还是可以的,这个关键要看是不是等价无穷小,也就是说替换的因子和被替换的因子是不是等价无穷小
比如说这道题,sinx+cosx能不能用1+x替换,判断方法就是两者相除,求极限,如果极限值是1,那么看情况,作为一个整体进行替换有时候是可以的.
sinx+cosx和1+x是等价因子,但是能不能替换也是要看情况的
比如说你这道题是1的无穷次方这样的不定式极限,一般我们都不会也不能在指数的底数这一块用等价无穷小,这种问题一般是两种方法,一种方法：两边取对数,再求极限,另一种方法就是化作e为底的指数形式,再求极限
原式=（sinx+cosx）^1/x=(1+sinx+cosx-1)^1/(sinx+cosx-1)*(sinx+cosx-1)*1/x
其中对(1+sinx+cosx-1)^1/(sinx+cosx-1）用两个重要极限的结论,得到极限是e
对(sinx+cosx-1)*1/x再求极限即可,方法很多,比如说泰勒级数展开（展开到x的一阶就可以了,剩下的用o（x）代替）,（展开式我有点忘了）此极限是1
所以答案就是e