题目

求(tanx-sinx)/(sinx)^3的极限,我是这么算的,先把分式拆开,求两个极限之差,然后用等价无穷小,得到lim(1-x^2)-lim(1-x^2)结果是0可正确答案是0,我想知道为什么我这种做法错了
正确答案是0.5.打错啦

提问时间：2021-01-14

答案

1.原则上说是可以分开之后展开,再对每个分式使用无穷小的
但是这需要你分开的两个式子的极限相减有意义才行
此处不然
其次看着你的等价无穷小有错
tanx~x
sinx~x
注意分母是(sinx)^3~x^3
因为
tanx/(sinx)^3 x/x^3=1/x^2极限是正无穷
sinx/(sinx)^3 x/x^3=1/x^2极限是正无穷
正无穷-正无穷是不定型
2.如果直接taylor展开到一定阶数也是可以的（一般不用）
但是由于分母的阶是x^3
你分子必须至少展开到x^3,才能保证不犯错.
3.正确做法:
tanx=sinx/cosx
原式上下同乘cosx
=(sinx-sinxcosx)/[(sinx)^3 cosx]
同除sinx (因为取极限,x≠0,只是趋向于0)
=(1-cosx)/[(sinx)^2 cosx]
此时再用等价无穷小
1-cosx~x^2/2
sinx~x
cosx~1
=(x^2/2)/[x^2*1]
=1/2
所以先尽可能化简,然后再等价无穷小,注意只有乘除可以用等价无穷小.