题目

证明：交代群A4没有六阶子群

提问时间：2021-01-14

答案

首先六阶子群中的元素的阶只能为1,2,3,6
若有6阶的,同构于Z6
若只有3阶的,那么这样的群只能是奇数阶的,不合.
若只有2阶,考虑子群{e,a,b,ab}的阶为4,不合.
那么即有2阶,又有3阶,那么这个群同构于S3
如果你知道,6阶群只同构于S3或Z6的话这句话可不证明.
而A4中的元素的阶只有1,2,3,4（因为他是S4的子群）
所以,没有子群同构于Z4
那么考虑A4中的二阶元素.(实际上就是两两不交的对换的乘积）
(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)
显然,他们中任意两个的乘积都不为3阶.
故A4的子群不同构于S3.
另一种证明方法简单点,如果你知道A4的所有正规子群的话,非平凡的只有4元群（Klein4群）的话,该命题显然.