题目
x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30,求x+y的取值范围
答案是x+y∈[8√2-3,30),
答案是x+y∈[8√2-3,30),
提问时间:2021-01-13
答案
x+2y+xy=30,
则y=(30-x)/(x+2),
因为y>0, (30-x)/(x+2) > 0,
所以0<x<30.
设x+2=t,则x=t-2,2<t<32.
x+y= x+(30-x)/(x+2)
=t-2+(32-t)/t
=t-2+32/t-1
= t+32/t-3……利用基本不等式
≥2√(t•32/t)-3=8√2-3.
函数t+32/t在[0,4√2]上递减,在[ 4√2,+∞)上递增,
因为2<t<32,所以t=32时,t+32/t最大,t+32/t-3<30.
∴x+y∈[8√2-3,30).
则y=(30-x)/(x+2),
因为y>0, (30-x)/(x+2) > 0,
所以0<x<30.
设x+2=t,则x=t-2,2<t<32.
x+y= x+(30-x)/(x+2)
=t-2+(32-t)/t
=t-2+32/t-1
= t+32/t-3……利用基本不等式
≥2√(t•32/t)-3=8√2-3.
函数t+32/t在[0,4√2]上递减,在[ 4√2,+∞)上递增,
因为2<t<32,所以t=32时,t+32/t最大,t+32/t-3<30.
∴x+y∈[8√2-3,30).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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