题目

若函数f（x）=x²+2xtanθ-1在[-1，

3

]上为单调函数，则θ的取值范围是（　　）
A. （-

π

2

+kπ，-

π

3

+kπ]∪[

π

4

+kπ，

π

2

+kπ）（k∈Z）
B. [-

π

4

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）
C. （-

π

2

+kπ，-

π

4

+kπ]∪[

π

3

+kπ，

π

2

+kπ）（k∈Z）
D. [-

π

3

+kπ，

π

4

+kπ]（k∈Z）

提问时间：2021-01-13

答案

∵函数f（x）=x²+2xtanθ-1的对称轴为x=-tanθ
∴若函数f（x）=x²+2xtanθ-1在[-1，

3

]上为单调函数，则-tanθ≤-1或-tanθ≥

3

∴tanθ≥1或tanθ≤-

3

∴θ∈（-

π

2

+kπ，-

π

3

+kπ]∪[

π

4

+kπ，

π

2

+kπ）（k∈Z），
故选A．

若二次函数在某区间内是单调函数，则对称轴在区间外．

本题考点：函数单调性的性质．

考点点评：二次函数是最常见的函数模型之一，也是最熟悉的函数模型，解决此类问题要充分利用二次函数的性质和图象．